Sendung vom 04. Dezember 2011
Theresa Czielwik aus Hennef fragt:
Bei 365 Tagen im Jahr scheint die Wahrscheinlichkeit recht gering
zu sein, dass in einer Gruppe von 20 Personen zwei Menschen am
selben Tag Geburtstag haben. Doch ist ein doppelter Geburtstag
wirklich so unwahrscheinlich, wie die meisten Menschen annehmen?
Die Kopfball-Reporter Isabel Hecker und Burkhardt Weiß
besuchen einen Workshop beim "Tag der Talente" in Berlin.
Hier treffen sich die Sieger verschiedener Talentwettbewerbe, unter
anderem auch echte Mathe-Könner. Gemeinsam mit den
Jugendlichen zeigen die Kopfball-Reporter, dass wir beim
Einschätzen von Wahrscheinlichkeiten oft daneben liegen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand aus der 20-köpfigen Gruppe
an diesem Tag Geburtstag hat, ist tatsächlich relativ gering.
Sie liegt bei 20 zu 365, also bei etwas über fünf Prozent
– vorausgesetzt alle Anwesenden haben an unterschiedlichen
Tagen Geburtstag. Die Wahrscheinlichkeit für einen
Doppelgeburtstag an einem beliebigen Tag ist allerdings erheblich
schwieriger zu berechnen. Isabel und Burkhardt versuchen daher, das
Ergebnis in einem anschaulichen Versuch zu ermitteln.
Entscheidend für die Wahrscheinlichkeit eines Doppelgeburtstags ist nicht die Anzahl der Personen, sondern die Anzahl der möglichen Paare, die sie bilden können. Vier Personen können schon allein sechs verschiedene Paare bilden – jeder mit jedem. Bei zehn Personen gibt es 45 Paarkombinationen und bei 20 Personen sind es bereits 190. Je mehr Paarkombinationen möglich sind, desto größer wird die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen mit gleichem Geburtstag aufeinandertreffen. In einer Gruppe mit 20 Menschen beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Doppelgeburtstag über 40 Prozent – und bei 40 Personen sind es schon fast 90 Prozent. Isabel und Burkhardt testen die mathematische Theorie in der Realität. Ob sie in Berlin tatsächlich auf Geburtstags-Zwillinge treffen, sehen Sie im Film.
Film VisualBridges: Max Ostendorf mit Isabel Hecker und Burkhardt Weiß
Anonym
schrieb am 11.12.2011, 12:12 Uhr
Entschuldigung, ein Minus vergessen in der Abschätzung
Es heißt exp(-(n*(n-1))/730) anstatt exp((n*(n-1))/730)
Anonym
schrieb am 11.12.2011, 12:10 Uhr
Annahme:
n Menschen
Ereignis A_n := {mindestens 2, haben am selben Tag Geburtsag}
C(A_n) := {niemand hat am selben Tag Geburtstag}
Berechnung der Wahrscheinlichkeit:
P(A_n) = 1 - P(C(A_n)) = 1 - (365/365)*(364/365)*(363/365)*..*((365-n+1)/365) = 1 - Produkt_i=0..n-1(1-(i/365))
Abschätzung
P(A_n) >= 1 - exp((n*(n-1))/730)
pina
schrieb am 06.12.2011, 17:28 Uhr
Peinlich falsch!
sr
schrieb am 06.12.2011, 00:13 Uhr
Unter der beschriebenen Annahme, dass alle 20 im Raum befindlichen Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben (der Sinn dieser Annahme bleibe mal außer Acht gelassen) hat tatsächlich ein einzelner Schüler mit Wahrscheinlichkeit 20/365 am besagten Tag Geburtstag. Betrachten wir das Urnenmodell ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen, so entspricht die besagte Aufgabe dem Ziehen von 20 Kugeln aus einer Urne mit 365 Kugeln mit einer ausgezeichneten Kugel (z.B. der heutige Tag). Wir fragen uns nun, wie wahrscheinlich es ist, dass wir diese ausgezeichnete Kugel beim oben besagten 20maligen Ziehen erwischen. Damit:
P(Einer hat heute Geburtstag | Alle haben an verschiedenen Tagen Geburtstag) = (1 über 1) * (364 über 19) / (365 über 20) = 20 / 365
wobei (n über k) den Binmoialkoeffizienten bezeichnet.
Ob dies nun "einfacher" als die wesentlich allgemeinere und korrekte Lösung des Schülers auf die eigentliche Frage des Moderators ist, bleibe mal dahin gestellt.
Kopfball
schrieb am 06.12.2011, 00:13 Uhr
Hallo, bei der zugegebenermaßen stark vereinfachten Berechnung im Film gehen wir
von der Annahme aus, dass alle 20 Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben. Dass das nicht unbedingt der Fall ist, sehen wir ja im weiteren Verlauf des Films.
Allerdings fehlt in der Tat im Film ein entsprechender Hinweis, das ist uns durchgegangen. Im Internettext wird diese Einschränkung jedoch erwähnt ("vorausgesetzt alle Anwesenden haben an unterschiedlichen Tagen Geburtstag"). Natürlich ist eine solche Vereinfachung bei großen Personenzahlen nicht mehr möglich ("Bei 365 Schülern wäre die Wahrscheinlichkeit demnach 365/365=1 und bei 730 Schülern sogar gleich 2, also doppelt so wahrscheinlich wie sicher!?"). Bei 20 Personen kommen wir jedoch bei der einfachen Berechnungsvariante 20/365 und der Variante 1-(364/365)^20 auf ähnliche Werte von 5,48 bzw. 5,33 Prozent. Und das zeigt wiederum, dass es sehr sinnvoll sein kann, auch mal näherungsweise zu rechnen - z.B., wenn man keinen Taschenrechner zur Hand hat.
Sven
schrieb am 04.12.2011, 16:09 Uhr
Ohje. Wie mein Vorredner schon meinte, die toll vereinfachte Berechnung ist völlig falsch! Man hätte dies auch leicht sehen können: Bei 365 Schülern wäre die Wahrscheinlichkeit demnach 365/365=1 und bei 730 Schülern sogar gleich 2, also doppelt so wahrscheinlich wie sicher !? Dieser Fauxpas ist wohl leider bezeichnend für das mangelhafte Mathematikwissen in den Breiten unserer Gesellschaft, welche sich sogar durch Autoren, Redaktion und Moderatoren der ÖR zieht.
sr
schrieb am 04.12.2011, 12:40 Uhr
Die Berechnung der "Wahrscheinlichkeit, dass jemand aus der 20-köpfigen Gruppe an diesem Tag Geburtstag hat" stimmt leider nicht. Die Zahl 20/365 gibt den Erwartungswert der Zufallsvariablen an, die als Summe von 20 unabhängig Bernoulliverteilten Zufallsvariablen gegeben ist und keine Wahrscheinlichkeit. Die Berechnung des Schülers war zum Glück korrekt :)
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